ફોરિયર સીરિઝ અને ફોરિયર વચ્ચેના તફાવત વચ્ચેનું પરિવર્તન
ફોરિયર સિરિઝ વિ ફોરિયર રૂપાંતરણ
ફોરિયર સીરિયલ્સ વિવિધ ફ્રીક્વન્સીઝ સાથે સાઈન અને કોસાઇન્સમાં એક સામયિક કાર્યને વિઘટિત કરે છે અને વિપુલતા ફોરિયર શ્રેણી ફોરિયર વિશ્લેષણની એક શાખા છે અને તે જોસેફ ફોરિયર દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી હતી. ફોરિયર રૂપાંતરણ એક ગાણિતિક કામગીરી છે જે તેના ઘટક ફ્રીક્વન્સીઝમાં સંકેત તોડે છે. મૂળ સિગ્નલ જે સમય જતાં બદલાયો છે તેને સિગ્નલનો સમય ડોમેન પ્રતિનિધિત્વ કહેવાય છે. ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મને ફ્રિક્વન્સી ડોમેન રજૂઆત કહેવામાં આવે છે કારણ કે તે આવર્તન પર આધારિત છે. બંને ફ્રિક્વન્સી ડોમેન એક સંકેતનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે અને આવર્તનના ડોમેનમાં તે સંકેતને પરિવર્તિત કરવા માટે વપરાતી પ્રક્રિયા ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
ફોરિયર સીરિઝ શું છે?
અગાઉ સૂચવ્યા મુજબ, ફોરિયર સિરિઝ અનંત રકમ સિને અને કોજીસનો ઉપયોગ કરીને સામયિક કાર્યનું વિસ્તરણ છે. ગરમીના સમીકરણો ઉકેલવામાં જ્યારે ફોરિયર શ્રેણીનો પ્રારંભ કરવામાં આવ્યો હતો, પરંતુ પાછળથી જાણવા મળ્યું હતું કે તે જ તકનીકનો ઉપયોગ મોટા પ્રમાણમાં ગાણિતિક સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે કરી શકાય છે, ખાસ કરીને સમસ્યાઓ જે સતત સહગુણાંકો સાથે સુરેખ અવકાશી સમીકરણોનો સમાવેશ કરે છે. હવે, ફોરિયર શ્રેણીમાં ઇલેક્ટ્રિકલ એન્જિનિયરીંગ, સ્પંદન વિશ્લેષણ, શ્રવણવિજ્ઞાન, ઓપ્ટિક્સ, સિગ્નલ પ્રોસેસિંગ, ઇમેજ પ્રોસેસિંગ, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ અને અર્થશાસ્ત્ર સહિત મોટી સંખ્યામાં ક્ષેત્રો છે. ફાઇનર શ્રેણી સિને અને કોઝાઇન વિધેયોના ઓર્થોગોનાલિટી સંબંધોનો ઉપયોગ કરે છે. ગણતરી અને ફોરિયર સિરીઝના અભ્યાસને હાર્મોનિક વિશ્લેષણ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે અને મનસ્વી સમયાંતરે વિધેયો સાથે કામ કરતી વખતે તે ખૂબ જ ઉપયોગી છે, કારણ કે તે સરળ વિધેયોમાં કાર્યને તોડવા માટે પરવાનગી આપે છે કે જે મૂળ સમસ્યાના ઉકેલને મેળવવા માટે વાપરી શકાય છે.
ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ શું છે?
ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ સમયના ડોમેનમાં સંકેત વચ્ચે અને ફ્રિકવન્સી ડોમેનમાં તેની પ્રતિનિધિત્વ વચ્ચેના સંબંધને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. ફોરિયર પરિવર્તન ઓક્સિલરી ફંક્શનમાં ફંક્શનને વિઘટિત કરે છે. આ પરિવર્તન હોવાથી, મૂળ સિગ્નલ રૂપાંતરને જાણ્યાથી મેળવી શકાય છે, આમ પ્રક્રિયામાં કોઈ માહિતી બનાવવામાં કે હારી નથી. ફોરિયર શ્રેણીનો અભ્યાસ વાસ્તવમાં ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ માટે પ્રેરણા આપે છે. સાઈન અને કોસોન્સના ગુણધર્મોને લીધે ઇન્ટીગ્રલનો ઉપયોગ કરીને દરેક વેવના જથ્થામાં રકમની ફાળવણી કરવામાં શક્ય છે. ફોરિયર પરિવર્તનમાં કેટલીક મૂળભૂત ગુણધર્મો છે જેમ કે લીનિયરીટી, ટ્રાન્સલેશન, મોડ્યુલેશન, સ્કેલિંગ, સંયોગ, દ્વૈત અને કન્વોલિશન. ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ડિસેવલ સમીકરણોને ઉકેલવામાં લાગુ કરવામાં આવે છે કારણ કે ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ લેપલેસ રૂપાંતર સાથે ગાઢ સંબંધ ધરાવે છે. ફોરિયર પરિવર્તનનો ઉપયોગ અણુ ચુંબકીય રેઝોનન્સ (એનએમઆર) અને અન્ય પ્રકારની સ્પેક્ટ્રોસ્કોપીમાં પણ થાય છે.
ફોરિયર સીરિઝ અને ફોરિયર વચ્ચેનું પરિવર્તન કરોફોરિયર સિરિઝ સિરીંગ અને સિસોન્સનું સુરેખ સંયોજન તરીકેનું સામયિક સિગ્નલનું વિસ્તરણ છે જ્યારે ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ પ્રક્રિયા અથવા કાર્ય છે જેનો ઉપયોગ સમયના ડોમેનથી સંકેતો કન્વર્ટ કરવા માટે થાય છે. આવર્તન ડોમેનમાં ફયુઅર સિરિઝને સામયિક સંકેતો માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ એપરિયરયોડિક (સમયાંતરે વિનાના) સંકેતો પર લાગુ કરી શકાય છે. ઉપર સૂચવ્યા મુજબ, ફોરિયર સિરીઝના અભ્યાસમાં ખરેખર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ માટે પ્રેરણા મળે છે.
