ચોક્કસ અને અનિશ્ચિત સંકટ વચ્ચેના તફાવત.
ગણિત ગણિતની એક મહત્વની શાખા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, અને ભિન્નતા કલનમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. ભિન્નતાના વ્યસ્ત પ્રક્રિયાને એકીકરણ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, અને વ્યસ્તને અભિન્ન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, અથવા ખાલી મૂકીને, ભિન્નતાના વ્યસ્તતા એક અભિન્ન ભાગ આપે છે. તેઓ જે પરિણામો ઉત્પન્ન કરે છે તેના આધારે તેને બે વર્ગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે., ચોક્કસ અને અનિશ્ચિત સંકલન
ચોક્કસ એકાગ્ર
f (x) ની ચોક્કસ સંકલન એક NUMBER છે અને વળાંક f (x) થી x = a થી x = b
એકનિષ્ઠ સંકલનની સંકલનો પર ઉપલા અને નીચલી મર્યાદા છે, અને તે ચોક્કસ કહેવાય છે કારણ કે, સમસ્યાના અંતે, અમારી પાસે એક નંબર છે - તે એક ચોક્કસ જવાબ છે.
અનિશ્ચિત સંકલન
એફ (x) નો અનિશ્ચિત અભિન્નતા એ એક ફંક્શન છે અને પ્રશ્નનો જવાબ આપે છે, "જ્યારે ભાગાકાર કરે છે ત્યારે શું કાર્ય કરે છે f (x) ? "
અનિશ્ચિત અભિન્ન સાથે અખંડ પર કોઈ ઉપલી અને નીચલી મર્યાદા નથી, અને આપણે શું મેળવવું તે એક જવાબ છે જે હજી પણ x માં છે અને તેમાં સતત પણ હશે (સામાન્ય રીતે તે C દ્વારા સૂચવે છે).
અનિશ્ચિત સંકલન સામાન્ય રીતે વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ આપે છે.
અનિશ્ચિત અભિન્ન સંકલન એક સામાન્ય સ્વરૂપ છે, અને તે ગણવામાં કાર્ય વિરોધી ડેરિવેટિવ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે.
ધારો કે ફંકશનના તફાવત F અન્ય કાર્ય તરફ દોરી જાય છે f , અને એફનું સંકલન એ અભિન્ન અંગ આપે છે. પ્રતીકાત્મક રીતે, આ
એફ (x) = ∫ƒ (x) dx
અથવા
એફ = ∫ƒ dx
તરીકે લખવામાં આવે છે જ્યાં F અને ƒ < x ના કાર્યો છે, અને F અલગ છે. ઉપરોક્ત ફોર્મમાં, તેને રીમૅન ઇન્ટિગ્રલ કહેવામાં આવે છે અને પરિણામી ફંક્શન મનસ્વી સ્થિરીકરણ સાથે જોડાય છે. અનિશ્ચિત સંકલન ઘણીવાર કાર્યોના કુટુંબનું ઉત્પાદન કરે છે; તેથી અભિન્ન અનિશ્ચિત છે.
એકીકૃત અને સંકલન પ્રક્રિયા, વિભિન્ન સમીકરણોનું નિરાકરણના હૃદય પર છે. જો કે, ભિન્નતાના પગલાઓથી વિપરીત, એકીકરણના પગલાં હંમેશા સ્પષ્ટ અને પ્રમાણભૂત નિત્યક્રમનું પાલન કરતા નથી. પ્રસંગોપાત, અમે જોઈ શકીએ છીએ કે સોલ્યુશન પ્રાથમિક કાર્યની દ્રષ્ટિએ સ્પષ્ટ રીતે વ્યક્ત કરી શકાતું નથી. તે કિસ્સામાં, વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલને ઘણીવાર અનિશ્ચિત અભિન્ન સ્વરૂપમાં આપવામાં આવે છે.
કેલ્ક્યુલસના મૂળભૂત સિદ્ધાંત
નિશ્ચિત અને અનિશ્ચિત અભિન્ન કળકટના મૂળભૂત સિદ્ધાંત દ્વારા નીચે પ્રમાણે છે: એક
ચોક્કસ સંકલિત ગણતરી કરવા માટે, અનિશ્ચિત અભિન્ન શોધો > કાર્ય (વિરોધી ડેરિવેટિવ તરીકે પણ ઓળખાય છે) અને એન્ડપોઇન્સ x = a અને x = b પર મૂલ્યાંકન કરો. એક જ વિધેય માટે સંકલનકારોનું મૂલ્યાંકન કરતી વખતે ચોક્કસ અને અનિશ્ચિત સંકલન વચ્ચેનો તફાવત સ્પષ્ટ થશે. નીચે આપેલ ઇન્ટિગ્રલનો વિચાર કરો:
બરાબર. ચાલો તેમને બન્ને કરીએ અને તફાવત જુઓ.
એકીકરણ માટે, આપણે ઇન્ડેક્સમાં એક ઉમેરવાની જરૂર છે જે અમને નીચેના અભિવ્યક્તિ તરફ દોરી જાય છે:
આ સમયે
C
ફક્ત અમારા માટે એક સ્થિર છે C ની ચોક્કસ કિંમત નક્કી કરવા માટે સમસ્યામાં વધારાની માહિતીની જરૂર છે ચાલો તેના ચોક્કસ સ્વરૂપમાં સમાન સંકલનનું મૂલ્યાંકન કરીએ. ઈ., ઉપલા અને નીચલા મર્યાદા સાથે સમાવેશ થાય છે. ગ્રાફિકલી રીતે કહીએ તો, હવે આપણે કર્વ
f (x) = y
3 વચ્ચે y = 2 અને y = 3 >. આ મૂલ્યાંકનમાં પ્રથમ પગલું અનિશ્ચિત અભિન્ન મૂલ્યાંકન જેવું જ છે. માત્ર એટલો જ તફાવત છે કે આ વખતે અમે સતત C ઉમેરતા નથી.
આ કિસ્સામાં અભિવ્યક્તિ નીચે પ્રમાણે દેખાય છે: આ ચાલુ તરફ તરફ દોરી જાય છે: આવશ્યકપણે, અમે અભિવ્યક્તિમાં 3 અને પછી 2 નું સ્થાન લીધું અને તેમની વચ્ચેનો તફાવત મેળવી લીધો.
અગાઉ
C
ના ઉપયોગના વિરોધમાં આ ચોક્કસ મૂલ્ય છે
ચાલો આપણે હવે વધુ પરિપ્રેક્ષ્યમાં સતત પરિબળ (અનિશ્ચિત અભિન્ન સંબંધમાં) ને શોધી કાઢીએ. જો y
3
છે 3y 2 , તો પછી ∫ 3y 2
પાસા = યુ 3 જોકે, 3y 2
ઘણા સમીકરણોના તફાવત હોઈ શકે છે જેમાંના કેટલાંકમાં y 3 -5 , > વાય 3 +7 , વગેરે … આ સૂચવે છે કે રિવર્સલ અનન્ય નથી કારણ કે ઓપરેશન દરમિયાન તે સતત અજાણ છે. તેથી સામાન્ય રીતે, 3y 2 એ
y 3 + C જ્યાં C કોઇપણ સતત આકસ્મિકરીતે, C ને 'એકીકરણના સતત' તરીકે ઓળખવામાં આવે છે અમે તેને આ રીતે લખીએ છીએ: ∫ 3y 2
. dx = y
3 + સી અનિશ્ચિત અભિન્ન, જેમ કે કોષ્ટક લુકઅપ અથવા રીસ્ક એકીકરણ માટે સંકલન તકનીકો, સંકલન પ્રક્રિયા દરમિયાન નવી વિરામનો ઉમેરો કરી શકે છે. આ નવા વિઘ્નો દેખાય છે કારણ કે વિરોધી ડેરિવેટિવ્ઝને જટિલ લોગરીડમ્સની રજૂઆતની જરૂર છે. જ્યારે દલીલ નકારાત્મક વાસ્તવિક અક્ષને પાર કરે ત્યારે જટિલ લઘુગણકમાં જમ્પ અંતર હોય છે, અને સંકલન ગાણિતીક નિયમો કેટલીકવાર રજૂઆત શોધી શકતી નથી કે જ્યાં આ કૂદકા રદ કરે છે.
