એસોશિએટીવ અને ક્રમિક વચ્ચેનો તફાવત: સહયોગી વિ Commutative

એસોશિએટિવ વર્સીસ કમ્યુટિટેક

અમારા રોજિંદા જીવનમાં, જ્યારે આપણે કંઈક માપ મેળવવા માટે જરૂર પડે ત્યારે સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરવો પડે છે. કરિયાણાની દુકાનમાં, ગેસ સ્ટેશન પર, અને રસોડામાં પણ, અમને બે અથવા વધુ જથ્થાઓ ઉમેરવા, બાદબાકી કરવા અને ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. અમારા પ્રેક્ટિસથી, અમે આ ગણતરીઓ તદ્દન વિના પ્રયાસે કરીએ છીએ. અમે આ ખાસ રીતે આ ઓપરેશન્સ શા માટે કરીએ છીએ તે અમે ક્યારેય નોંધી નથી અથવા પ્રશ્ન કરીએ નહીં. અથવા શા માટે આ ગણતરીઓ અલગ રીતે કરી શકાતી નથી. આ કાર્યને બીજગણિતના ગાણિતિક ક્ષેત્રમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તે રીતે તેનો જવાબ છુપાયેલો છે.

બીજગણિતમાં, બે જથ્થા (જેમ કે વધારા) ને સંલગ્ન કામગીરીને બાઈનરી પ્રક્રિયા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વધુ ચોક્કસ રીતે તે સેટમાંથી બે ઘટકો વચ્ચે ક્રિયા છે અને આ તત્વોને 'ઓપરેન્ડ' કહેવામાં આવે છે. ગણિતમાં ઘણી કામગીરીઓ જે પહેલા ઉલ્લેખિત અંકગણિત કામગીરીઓ અને સેટ થિયરી, રેખીય બીજગણિત અને ગાણિતીક તર્કમાં મળી આવે છે તે બાઈનરી કામગીરી તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે.

ચોક્કસ દ્વિસંગી કામગીરીથી સંબંધિત સંચાલન નિયમોનો એક સમૂહ છે. સહયોગી અને પરિવર્તનીય ગુણધર્મો બાઈનરી કામગીરીના બે મૂળભૂત ગુણધર્મો છે.

પરિવર્તનીય સંપત્તિ વિશે વધુ

એવું લાગે છે કે કેટલાક બાઈનરી કામગીરી, જે પ્રતીક ⊗ દ્વારા સૂચિત છે, A અને B પર આધારિત છે. જો ઓપરેન્ડ્સનો ઓર્ડર ઓપરેશનના પરિણામને અસર કરતું નથી, તો ઓપરેશનને પરિવર્તનીય કહેવાય છે. હું. ઈ. જો A ⊗ B = B ⊗ A પછી ઓપરેશનમાં પરિવર્તનીય છે.

અંકગણિત કામગીરીમાં વધારા અને ગુણાકાર પરિવર્તનીય છે. એકસાથે ઉમેરેલી અથવા એકસાથે ગુણાકારની સંખ્યાનો અંતિમ પરિણામ પર અસર કરતા નથી:

A + B = B + A ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9

એ × B = B × A ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20 < પરંતુ ક્રમમાં ડિવિઝન ફેરફાર કિસ્સામાં અન્ય પારસ્પરિક આપે છે, અને બાદબાકી માં ફેરફાર અન્ય ના નકારાત્મક આપે છે. તેથી, એ

- બી ≠ બી - એ ⇒ 4 - 5 = -1 અને 5 - 4 = 1 એ

÷ બી ≠ બી ÷ એ ⇒ 4 ÷ 5 = 0. 8 અને 5 ÷ 4 = 1. 25 [આ કેસમાં એ, B ≠ 1 અને 0] હકીકતમાં, બાદબાકીને વિરોધી-પરિવર્તનીય ગણવામાં આવે છે; જ્યાં

એ - બી = - (બી - A). સાથે સાથે, લોજિકલ કનેક્ટીવ્સ, જોડાણમાં, વિયોજન, સૂચિતાર્થ, અને સમકક્ષતા પણ પરિવર્તનીય છે. સત્ય કાર્યો પણ પરિવર્તનીય છે. સેટ ઓપરેશન્સ યુનિયન અને આંતરછેદ પરિવર્તનીય છે. વધારા અને વેક્ટર્સનું સ્કલર ઉત્પાદન પણ પરિવર્તનીય છે.

પરંતુ વેક્ટર બાદબાકી અને વેક્ટરનું ઉત્પાદન પરિવર્તનીય નથી (બે વેક્ટર્સનું વેક્ટર પ્રોડક્ટ એન્ટી-કમ્યૂટેટિવ ​​છે) મેટ્રીક્સ ઉમેરણમાં પરિવર્તનીય છે, પરંતુ ગુણાકાર અને બાદબાકી ફેરફારની નથી. (બે મેટ્રીસીસનું ગુણાકાર વિશિષ્ટ કિસ્સાઓમાં પરિવર્તનીય હોઈ શકે છે, જેમ કે તેના વ્યસ્ત અથવા મેટ્રિક્સ સાથેના મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર; પરંતુ મેટ્રિસીસ સમાન કદના ન હોય તો ચોક્કસપણે કાપી શકાય તેવું નથી)

સહયોગી સંપત્તિ વિશે વધુ

એક્ઝેક્યુશનનો આદેશ પરિણામને અસર કરતું નથી, જ્યારે ઓપરેટરની બે કે તેથી વધુ સંભાવનાઓ હાજર હોય ત્યારે બાઈનરી કામગીરીને એસોસિએટીવ કહેવાય છે.

એ, બી અને સી અને દ્વિસંગી કામગીરી ⊗ વિશે વિચારો. ઓપરેશન ⊗ એ સહયોગી હોવાનું કહેવાય છે જો A

⊗ B ⊗ C = A ⊗ (બી ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C મૂળભૂત અંકગણિત કાર્યોમાંથી, માત્ર વધુમાં અને ગુણાકાર સહયોગી છે.

એ

+ (બી + સી) = (એ + બી) + C ⇒ 4 + (5 +3) = (5 + 4) + 3 = 12 એ × (બી × સી) = (એ × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60 બાદબાકી અને વિભાગ સહયોગી નથી; એ

- (બી - C) ≠ (એ - બી) - C ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 અને (5 - 4) - 3 = -2 એ ÷ (બી

÷ C) ≠ (< એ ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2. 4 અને (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0. 2666 લોજિકલ કનેક્ટિવ્સ જોડાણ, સંયોજનો અને સમકક્ષ એસોસિએટીવ છે, જે સેટ ઓપરેશન યુનિયન અને આંતરછેદ પણ છે. મેટ્રિક્સ અને વેક્ટર ઉપરાંત સહયોગી છે. વેક્ટર્સનું સ્કેલેર ઉત્પાદન સહયોગી છે, પરંતુ વેક્ટરનું ઉત્પાદન નથી. મેટ્રિક્સ ગુણાકાર માત્ર ખાસ સંજોગોમાં જ છે. પરિવર્તનીય અને સહયોગી સંપત્તિ વચ્ચે શું તફાવત છે? • એસોટેરિકલ મિલકત અને બાયનરી ઓપરેશન્સની ખાસ સંપત્તિ બંને છે, અને કેટલાક તેમને સંતોષે છે અને કેટલાક નથી. • આ ગુણધર્મોમાં બીજગણિત પ્રક્રિયાઓ અને ગણિતમાં અન્ય દ્વિસંગી કામગીરીઓના ઘણા સ્વરૂપો જોવા મળે છે, જેમ કે સેટ થિયરીમાં આંતરછેદ અને જોડાણ અથવા લોજિકલ કનેક્શન્સ.

• પરિવર્તનીય અને સહયોગી વચ્ચેનો તફાવત એ છે કે પરિવર્તનીય મિલકત જણાવે છે કે તત્વોનો ક્રમ અંતિમ પરિણામ ન બદલાય જ્યારે સહયોગી ગુણધર્મ જણાવે છે, કે જે ક્રમમાં ઑપરેશન કરવામાં આવે છે તે અંતિમ જવાબને અસર કરતી નથી.