રેશનલ અને ઇન્ટિરેશનલ નંબર્સ વચ્ચે તફાવત.
શબ્દ "સંખ્યાઓ" સામાન્ય રીતે શૂન્ય કરતાં વધારે ધન પૂર્ણાંક કિંમતો તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે તે અમારા ધ્યાનમાં લાવે છે. સંખ્યાઓના અન્ય વર્ગમાં સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ અને અપૂર્ણાંકો , જટિલ અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અને નકારાત્મક પૂર્ણાંક મૂલ્યો .
સંખ્યાઓના વર્ગીકરણને આગળ વધારવા, અમે વ્યાજબી અને અતાર્કિક નંબરો અનુભવીએ છીએ. વ્યાજબી સંખ્યા એ સંખ્યા છે જે અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બુદ્ધિગમ્ય ક્રમાંક બે સંખ્યાઓના રેશિયો તરીકે લખી શકાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાને ધ્યાનમાં રાખો 6 . તે બે સંખ્યાના રેશિયો તરીકે લખી શકાય છે. 6 અને 1 , ગુણોત્તર 6/1 તરફ દોરી જાય છે. તેવી જ રીતે, 2/3 , જે અપૂર્ણાંક તરીકે લખવામાં આવે છે, તે એક બુદ્ધિગમ્ય નંબર છે.
આ રીતે, અમે વ્યાજબી સંખ્યાને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ, અપૂર્ણાંકના સ્વરૂપમાં લખેલા નંબર તરીકે, જેમાં અંશમાં (ટોચની સંખ્યા) અને છેદ (તળિયેની સંખ્યા) સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ છે. વ્યાખ્યા મુજબ, તેથી, દરેક સંપૂર્ણ સંખ્યા એ પણ વ્યાજબી સંખ્યા છે.
બે મોટી સંખ્યાઓનો એક ગુણોત્તર જેમ કે ( 12 9, 367, 871 ) / ( 547, 724, 863 ) સરળ કારણોસર એક તર્કસંગત નંબરનું ઉદાહરણ પણ બનાવશે કારણ કે અંશ અને છેદ બંને સંપૂર્ણ સંખ્યા છે.
તેનાથી વિપરીત, કોઈપણ સંખ્યાનો અપૂર્ણાંક અથવા ગુણોત્તરના સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરી શકાતો નથી તે અતાર્કિક તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. અતાર્કિક નંબરનો સૌથી સામાન્ય રીતે ઉલ્લેખ કર્યો ઉદાહરણ છે √ 2 ( 1. 414213 …) અતાર્કિક સંખ્યાના અન્ય એક લોકપ્રિય ઉદાહરણ આંકડાકીય સતત છે π ( 3.141592 … ) .
એક અતાર્કિક સંખ્યાને દશાંશ તરીકે લખી શકાય છે, પરંતુ અપૂર્ણાંક તરીકે નહીં. અનિયમિત સંખ્યાઓનો ઉપયોગ દૈનિક જીવનમાં થતો નથી, તેમ છતાં તે સંખ્યા રેખા પર અસ્તિત્વ ધરાવે છે. સંખ્યા રેખા પર 0 અને 1 વચ્ચે અતાર્કિક સંખ્યાઓ અનંત સંખ્યા છે. એક અતાર્કિક સંખ્યામાં દશાંશ ચિહ્નની જમણી બાજુ અનંત પુનરાવર્તન અંકો રહે છે.
નોંધ કરો કે સતત π માટે 22/7 ના ઓ.એફ.ટી.-ટાંકવામાં આવેલું મૂલ્ય હકીકતમાં ફક્ત π નું મૂલ્ય છે >. વ્યાખ્યા પ્રમાણે, વર્તુળનો પરિઘ બે વાર તેની ત્રિજ્યા દ્વારા વહેંચાયેલો છે π આનાથી π ની બહુવિધ મૂલ્યો તરફ દોરી જાય છે, જેમાં, 333/106, 355/113 અને તેથી 1 જેટલું જ મર્યાદિત નથી. ચોરસ નંબરોની ફક્ત ચોરસ મૂળ; હું. ઈ., સંપૂર્ણ ચોરસ ના વર્ગમૂળઓ તર્કસંગત છે. √2
(અતાર્કિક)√3 (અતાર્કિક) √4
= √1 = 1
= 2 (રેશનલ)
√5, √6, √7, √8 (અતાર્કિક) √9
= 3 (રેશનલ) અને એમ બધાં.
વધુમાં, અમે નોંધ લઈએ છીએ કે, માત્ર n
n ની સત્તાઓની બુદ્ધિગમ્ય છે. 64 રુટની 6 ઠ્ઠી રુચિક છે, કારણ કે 64 એક 6 ઠ્ઠી શક્તિ છે, એટલે કે 6 ઠ્ઠી ની સત્તા 2 પરંતુ 6 ઠ્ઠી રુટનું 63 અતાર્કિક છે 63 સંપૂર્ણ નથી 6 મી શક્તિ
ચોક્કસ
( 1/5 = 0 માં. 20) અથવા તે અચોક્કસ હશે (જેમ કે, 1/3 ≈ 03333 ). ક્યાં કિસ્સામાં, અંકોની અનુમાનિત પેટર્ન હશે. નોંધ કરો કે જ્યારે અતાર્કિક સંખ્યાને દશાંશ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, તો પછી સ્પષ્ટપણે તે અચોક્કસ રહેશે, કારણ કે અન્યથા, સંખ્યા તાર્કિક હશે. વધુમાં, અંકોની અનુમાનિત પેટર્ન હશે નહીં. ઉદાહરણ તરીકે, √2 ≈ 1. 4142135623730950488016887242097 હવે, વ્યાજબી સંખ્યાઓ સાથે, અમે ક્યારેક ક્યારેક
1/11 = 0. 0909090
મળે છે. બન્ને સમાન હસ્તાક્ષર (
= ) અને ત્રણ બિંદુઓ ( ellipsis) નો ઉપયોગ સૂચવે છે કે તેમ છતાં 1/11 બરાબર દર્શાવવું શક્ય નથી દશાંશ તરીકે, 1/11 ની નજીક રહેવાની અનુમતિ મુજબ અમે હજુ પણ તેટલા દશાંશ આંકડાઓ સાથે અંદાજિત કરી શકીએ છીએ. આમ, 1/11 નો દશાંશ સ્વરૂપ અચોક્કસ માનવામાં આવે છે. એક જ ટોકન દ્વારા, ¼
નું દશાંશ સ્વરૂપ જે 0 છે. બરાબર છે. અતાર્કિક સંખ્યાઓ માટે દશાંશ સ્વરૂપમાં આવતા, તેઓ હંમેશા અચોક્કસ હશે. ઉદાહરણ તરીકે √ 2 , જ્યારે આપણે
√2 = 1. 41421356237 … (ellipsis નો ઉપયોગ નોંધો) લખીએ ત્યારે તેનો તરત જ અર્થ થાય છે કે, > √ 2 ચોક્કસ હશે વધુમાં, અંકોની અનુમાનિત પેટર્ન હશે નહીં. સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓના વિભાવનાઓનો ઉપયોગ કરીને, ફરીથી, આપણે જ્યાં સુધી બિંદુ સુધી √2 ની નજીક છીએ ત્યાં સુધી આપણે ઘણા દશાંશ આંકડાઓ માટે સમજી વિચારીએ છીએ. બુદ્ધિગમ્ય અને અતાર્કિક નંબરો પરની કોઈપણ નોંધ ફરજિયાત સાબિતી વગર સમાપ્ત થઈ શકતી નથી કેમ કે શા માટે √2 અતાર્કિક છે આમ કરવાથી, અમે પણ સ્પષ્ટતા કરીએ છીએ, સમકક્ષ દ્વારા મૂલ્યાંકન દ્વારા નમૂનાનો ઉત્તમ ઉદાહરણ. ધારવું √2 વ્યાજબી છે. આ અમને બે પૂર્ણાંકોના ગુણોત્તર તરીકે રજૂ કરવા તરફ દોરી જાય છે, કહે છે
p અને q
√2 = p / q કહેવું આવશ્યક નથી, પૃષ્ઠ અને q
કોઈ સામાન્ય પરિબળો નથી, જો કોઈ સામાન્ય પરિબળો હોત, તો અમે તેમને અંશ અને છેદમાંથી બહાર કાઢવા.
સમીકરણની બંને બાજુએ સ્ક્વેરિંગ, અમે સાથે અંત,
2
આને સરળ રીતે લખી શકાય છે,પૃષ્ઠ 2 = 2q > 2 છેલ્લો સમીકરણ સૂચવે છે કે
પૃષ્ઠ
2 પણ છે આ તો જ શક્ય છે જો p તે પોતે પણ છે. આ બદલામાં સૂચવે છે કે
પૃષ્ઠ 2 દ્વારા વિભાજક છે 4 . તેથી, q 2 અને પરિણામે q પણ હોવું જોઈએ.તેથી પૃષ્ઠ અને q બંને પણ પ્રારંભિક ધારણાને વિરોધાભાસ છે કે તેમની પાસે કોઈ સામાન્ય પરિબળો નથી. આમ, √2 તર્કસંગત ન હોઈ શકે. પ્ર. ઇ. ડી.
